Madhyamik 2026 Math Suggestion: Important Mensuration (পরিমিতি) Questions for 2nd Summative Exam হাই শিক্ষার্থীরা! আমাদের ওয়েবসাইটে আপনাকে স্বাগতম। আমরা মাধ্যমিক ২০২৬ দ্বিতীয় সারসংক্ষেপ পরীক্ষার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ গণিত পরামর্শ প্রদান করছি। বিষয় হল পরিমাপ (পরিমিত), যা কেবল আপনার আসন্ন সারসংক্ষেপ পরীক্ষার জন্যই নয়, চূড়ান্ত মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্যও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
এখানে Sphere (গোলক) এবং Right Circular Cone (লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু) এর জন্য প্রদত্ত পরামর্শগুলি আপনার পরীক্ষায় উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। আপনার মাধ্যমিক প্রস্তুতির জন্য একটি শক্তিশালী ভিত্তি তৈরি করতে এই সমস্যাগুলি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে অনুশীলন করতে ভুলবেন না।
Key Highlights: Madhyamik 2026 Math Suggestion
- Subject: Mathematics (অঙ্ক)
- Topic: Mensuration (পরিমিতি)
- Target Exam: 2nd Summative & Madhyamik 2026
- Chapters Covered:
- Sphere (গোলক) – Chapter 12
- Right Circular Cone (লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু) – Chapter 16
ধরি, অর্ধগোলাকার পাথরের Paperweight-এর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক
∴ নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন = ১/২ × গোলকের আয়তন
= ১/২ × ৪/৩ πr³ ঘন একক = ২/৩ πr³ ঘন একক
∴ অর্ধগোলকের আয়তন = ২/৩ πr³ ঘন একক
প্রয়োগ : ৪. যদি একটি পাথরের অর্ধগোলাকার নিরেট ঘনবস্তুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ১৪ সেমি. হয়, তবে তাতে কতটা পরিমাণ পাথর আছে হিসাব করি। Madhyamik 2026 Math Suggestion
নিরেট অর্ধগোলাকার Paperweight-এ পাথর আছে = ২/৩ × ২২/৭ × ১৪×১৪×১৪ ঘন সেমি. = [ ] ঘনসেমি.
প্রয়োগ : ৯. দুটি গোলাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ১:৪ হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
ধরি, দুটি গোলাকার ঘনবস্তুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r₁ একক ও r₂ একক
শর্তানুসারে, ৪πr₁²/৪πr₂² = ১/৪ বা, (r₁/r₂)² = (১/২)² ∴ r₁/r₂ = ১/২
∴ প্রথম গোলকের আয়তন/দ্বিতীয় গোলকের আয়তন = (৪/৩πr₁³)/(৪/৩πr₂³) = (r₁/r₂)³ = (১/২)³ = ১/
∴ গোলকের ঘনবস্তুটির আয়তনের অনুপাত ১:৮
প্রয়োগ : ১০. যদি দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত ১:২ হয়, তবে তাদের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হিসাব করে লিখি। [নিজে করি] Madhyamik 2026 Math Suggestion
প্রয়োগ : ১১. যদি একটি গোলকের আয়তন ও পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হয়, তবে গোলকটির ব্যাসার্ধের সাংখ্যমান হিসাব করে লিখি।
ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক।
∴ গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = ৪πr² বর্গ একক এবং আয়তন = ৪/৩πr³ ঘন একক
প্রশ্নানুসারে, ৪/৩πr³ = ৪πr² (যেহেতু সাংখ্যমান সমান) ∴ r = ৩ [∴ r ≠ 0]
∴ গোলকটির ব্যাসার্ধের সাংখ্যমান ৩. Madhyamik 2026 Math Suggestion
৫. কোনো ফাঁপা গোলকের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য R একক এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক হলে, ওই ফাঁপা গোলকে কী পরিমাণ পদার্থ আছে অর্থাৎ ওই ফাঁপা গোলক তৈরি করতে কত পরিমাণ পদার্থ লেগেছে তার আয়তন কীভাবে পাব? Madhyamik 2026 Math Suggestion
ওই ফাঁপা গোলক তৈরি করতে যে পরিমাণ পদার্থ লেগেছে তার আয়তন = ৪/৩π(R³-r³) ঘন একক।
৮. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ১৪ সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে ৩.৫ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
৯. ৩ সেমি., ৪ সেমি. ও ৫ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
১০. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ৪২ ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার ৩৫ টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
১১. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২১ সেমি. এবং ১৭.৫ সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
১২. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি। Madhyamik 2026 Math Suggestion
১৩. ১৪ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে ০.৭ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
১৪. ৮ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে ১ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
Madhyamik 2026 Math Suggestion
১৫. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) ২r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) ৩২πr³/৩ ঘনএকক (b) ১৬πr³/৩ ঘনএকক (c) ৮πr³/৩ ঘনএকক (d) ৬৪πr³/৩ ঘনএকক
(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত ১:৮ হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
(a) ১:২ (b) ১:৪ (c) ১:৮ (d) ১:১৬
(iii) ৭ সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a) ৫৮৮π বর্গ সেমি. (b) ৩৯২π বর্গ সেমি. (c) ১৪৭π বর্গ সেমি. (d) ৯৮π বর্গ সেমি.
(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ১৬:৯ হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
(a) ৬৪:২৭ (b) ৪:৩ (c) ২৭:৬৪ (d) ৩:৪
(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও ৩ গুণ আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য Madhyamik 2026 Math Suggestion
(a) ১ একক (b) ২ একক (c) ৩ একক (d) ৪ একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।
গণিত প্রকাশ – দশম শ্রেণি অধ্যায় : ১৬ Madhyamik 2026 Math Suggestion
প্রয়োগ : ১২. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা ৭ সেমি. এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ১৪৭.৮৪ বর্গ সেমি.। শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
ধরি, শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r সেমি.
∴ শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(l+r) বর্গ সেমি. = ২২/৭ r(৭+r) বর্গ সেমি.
শর্তানুসারে, ২২/৭ r(r+৭) = ১৪৭.৮৪
বা, r(r+৭) = ১৪৭৮৪/১০০ × ৭/২২ = ১১৭৬/২৫
বা, ২৫r²+১৭৫r-১১৭৬=০
বা, ২৫r²+২৮০r-১০৫r-১১৭৬=০
বা, ৫r(৫r+৫৬)-২১(৫r+৫৬)=০
বা, (৫r+৫৬)(৫r-২১)=০
হয়, ৫r-২১ = ০ বা, ৫r = ২১ বা, r = ২১/৫, ∴ r = ৪.২
অর্থবা, ৫r+৫৬ = ০ বা, ৫r = -৫৬, ∴ r = -৫৬/৫
কিন্তু ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴ r ≠ -৫৬/৫
সুতরাং r = ৪.২
∴ শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ৪.২ সেমি.।
প্রয়োগ : ১৫. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল ১৩.৮৬ বর্গ মিটার। তাঁবুটি তৈরি করতে ৫৭৭৫ টাকা মূল্যের একটি ত্রিপল লাগে এবং এক বর্গমিটার ত্রিপলের মূল্য ১৫০ টাকা হলে, তাঁবুটির উচ্চতা নির্ণয় করি। তাঁবুটিতে কত লিটার বায়ু আছে হিসাব করে লিখি।
ধরি, তাঁবুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r মিটার, উচ্চতা h মিটার এবং তির্যক উচ্চতা l মিটার।
শর্তানুসারে, πr² = ১৩.৮৬ ∴ ২২/৭ × r² = ১৩.৮৬ ∴ r² = [ ] ∴ r = [ ] ∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ২.১ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটার ১৫০ টাকা হিসাবে ৫৭৭৫ টাকায় ত্রিপলের পরিমাণ = ৫৭৭৫/১৫০ বর্গ মিটার = ২৩.১ বর্গ মিটার
∴ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ মিটার = ২৩.১ বর্গ মিটার ∴ ২২/৭ × ২১/১০ × l = ২৩.১ ∴ l = ৭/২ ∴ তির্যক উচ্চতা = ৩.৫ মিটার
∴ h = √l²-r² = √(৩.৫)² – (২.১)² মি. = [নিজে লিখি] ∴ উচ্চতা = ২.৮ মিটার
∴ তাঁবুটিতে বায়ু ধরে = ১/৩ × ২২/৭ × ২.১ × ২.১ × ২.৮ ঘন মি. = ১২৯৩৬ ঘন ডেসিমি. = ১২৯৩৬ লিটার
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু – Right Circular Cone Madhyamik 2026 Math Suggestion
কোষে দেখি ১৬
১. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ১৫ সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা ২৪ সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
৬. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে ৭৭ বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি ৭ মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস ২১ মিটার এবং উচ্চতা ১৪ মিটার। প্রতি বর্গ মিটার ১.৫০ টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।
৮. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি.। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি. ২.১০ টাকা হিসাবে পালিশ করতে ৪২৯ টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।
৯. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে ৭৫ ৩/৭ বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি ৫ মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
১০. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে ১১ জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে ৪ বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং ২০ ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই ১১ জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি। Madhyamik 2026 Math Suggestion
১১. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ২১ সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. ১০ পয়সা হিসাবে ৫৭.৭৫ টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
১২. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ৯ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ধরি, π = ৩.১৪, √১৩০ = ১১.৪]
১৩. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা ১৫ সেমি. এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ১৬ সেমি. হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
(a) ৬০π বর্গ সেমি. (b) ৬৮π বর্গ সেমি. (c) ১২০π বর্গ সেমি. (d) ১৩০π বর্গ সেমি. Madhyamik 2026 Math Suggestion