Madhyamik 2026 Math Suggestion: Class 10 গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ অধ্যায়-ভিত্তিক প্রশ্নাবলী | WBBSE

Madhyamik 2026 Math Suggestion: Class 10 গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ অধ্যায়-ভিত্তিক প্রশ্নাবলী | WBBSE
নমস্কার, মাধ্যমিক ২০২৬-এর সকল ছাত্র-ছাত্রীদের আমাদের ওয়েবসাইটে স্বাগত।

তোমাদের অঙ্ক পরীক্ষার সম্পূর্ণ প্রস্তুতির জন্য আমরা নিয়ে এসেছি গণিত প্রকাশ (দশম শ্রেণি) পাঠ্যবইয়ের প্রতিটি অধ্যায়ের গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নাবলীর একটি পূর্ণাঙ্গ সাজেশন। এই প্রশ্নগুলি তোমাদের প্রথম ইউনিট টেস্ট, দ্বিতীয় ইউনিট টেস্ট, টেস্ট পরীক্ষা এবং ফাইনাল মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

নিচে পাঠ্যবইয়ের ক্রম অনুসারে প্রতিটি অধ্যায় থেকে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নগুলি তালিকা আকারে দেওয়া হল। যে অঙ্কগুলি সমাধান করতে তোমাদের অসুবিধা হচ্ছে, সেগুলি এখান থেকে দেখে নিতে পারো এবং ভালোভাবে অনুশীলন করতে পারো। Madhyamik 2026 Math Suggestion

3. x⁶-x³-2=0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
   সমাধানঃ x⁶-x³-2=0
   বা, (x³)²-x³-2=0
   ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax²+bx+c আকারে প্রকাশ করা গেলো
   ∴ প্রদত্ত সমীকরণ টি x³ এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

4(i). (a-2)x²+3x+5=0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ প্রদত্ত সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা যদি a-2= 0 হয়
∴ a=2 হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না। Madhyamik 2026 Math Suggestion

(iv). (x+2)³=x(x²-1) -কে ax²+bx+c=0, (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x²,x ও x⁰ এর সহগ লিখি।
সমাধানঃ (x+2)³=x(x²-1)
বা, x³+3x²(2)+3(x)(2)²+(2)³= x³-x
বা, x³+6x²+12x+8= x³-x
বা, 6x²+13x+8=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax²+bx+c আকারে প্রকাশ গেল যেখানে a≠0 এবং x² এর সহগ 6 , x এর সহগ 13 এবং x⁰ এর সহগ 8।

5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
   (i) 42 কে দুটি অংশে বিভক্ত করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
   সমাধানঃ ধরি, একটি অংশ x
   ∴ অপর অংশ (42-x)
   শর্তানুসারে,
   x²=(42-x)
   বা, x²+x-42=0
   ∴ x²+x-42=0 হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
সমাধানঃ ধরি একটি সংখ্যা x
∴ অপর সংখ্যাটি হবে (x+2) [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা]
শর্তানুসারে,
x(x+2)=143
বা, x²+2x-143=0
∴ x²+2x-143=0 হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। Madhyamik 2026 Math Suggestion

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
সমাধানঃ ধরি, একটি সংখ্যা x
∴ অপর সংখ্যা (x+1)
শর্তানুসারে,
x²+(x+1)² = 313
বা, x²+x²+2x+1=313
বা, 2x²+2x+1-313=0
বা, 2x²+2x-312=0
বা, x²+x-156=0 [ উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ x²+x-156=0, হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।

6. (ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার প্রতি কিগ্রা চিনির দাম 1 টাকা কম হত।
   সমাধানঃ ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য x টাকা
   ∴ 80 টাকায় পাওয়া যাবে 80/x কিগ্রা চিনি
   এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম (x-1)টাকা হলে, 80 টাকায় পাওয়া যাবে 80/(x-1) কিগ্রা চিনি
   শর্তানুসারে,
   80/(x-1) – 80/x = 4
   বা, (80x-80(x-1)) / (x(x-1)) = 4
   বা, (80x-80x+80) / (x²-x) = 4
   বা, 80 / (x²-x) = 4
   বা, 4x²-4x=80
   বা, 4(x²-x)=80
   বা, x²-x-20=0
   ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²-x-20 = 0 Madhyamik 2026 Math Suggestion

(iii) দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 km। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল। ট্রেন টির গতিবেগ ঘন্টায় 5km বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘন্টা সময় কম লাগত।
সমাধানঃ ধরি, ট্রেন টির গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা
∴ 300 কিমি যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে 300/x ঘন্টা [ যেহেতু, সময় = দূরত্ব /গতিবেগ।]
ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘন্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(x+5) ঘন্টা [ সময় = দূরত্ব/গতিবেগ।]
শর্তানুসারে,
300/x – 300/(x+5) = 2
বা, (300(x+5)-300x) / (x(x+5)) = 2
বা, 300x+1500-300x = 2x(x+5)
বা, 1500 = 2(x²+5x)
বা, 2x²+10x-1500=0
বা, x² +5x -750 =0 [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²+5x-750=0

এখান থেকে 4 এর দাগের গুলোর মধ্যে 1 টি অংক আসবেই

2(i). K এর কোন মানের জন্য 7x²+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2/3 হবে?
সমাধানঃ 7x²+kx-3=0 এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2/3 হলে, অবশ্যই 2/3 দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে,
∴ 7(2/3)² + k(2/3) – 3 = 0
বা, 28/9 + 2k/3 – 3 = 0
বা, (28+6k-27)/9 = 0
বা, 6k = -1
বা, k = -1/6
∴ K এর মান -1/6 হলে 7x²+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2/3 হবে।

2(ii). K এর কোন মানের জন্য x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হবে –a?
সমাধানঃ x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ –a
∴ -a সমীকরণ টিকে সিদ্ধ করবে
x এরস্থানে –a বসিয়ে পাই,
(-a)²+3a(-a)+k=0
বা, a²-3a²+k=0
বা, -2a²+k=0
বা, k=2a²
∴ k এর মান 2a² হলে দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ হবে –a।

3. যদি ax²+7x+b=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 2/3 এবং -3 হয় তবে a ও b এর মান নির্ণয় করি।
   সমাধানঃ যদি ax²+7x+b=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 2/3 এবং -3 হয় তাহলে 2/3 এবং -3 উভয়ই প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
   x এর স্থানে 2/3 বসিয়ে পাই,
   ∴ a(2/3)² + 7(2/3)+b = 0
   বা, 4a/9 + 14/3 + b = 0
   বা, (4a+42+9b)/9 = 0
   বা, 4a + 9b = -42 — (i)
   এবং x=-3 বসিয়ে পাই-
   a(-3)² + 7(-3)+b=0
   বা, 9a-21+b=0
   বা, 9a+b=21— (ii)
   (ii) নং সমীকরণ কে 9 দ্বারা গুন করে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
   (4a+9b)-(81a+9b)=-42-189
   বা, -77a = -231
   বা, a = -231/-77
   বা, a = 3
   a এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই
   4(3)+9b=-42
   বা, 12+9b = -42
   বা, 9b = -42-12
   বা, 9b = -54
   বা, b = -54/9
   বা, b = -6
   ∴ ax²+7x+b=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 2/3 এবং -3 হলে, a=3 এবং b= -6 হবে।
4. সমাধান করি: Madhyamik 2026 Math Suggestion
   (x) x/(x+1) + (x+1)/x = 2 1/2 , x≠0, -1
   বা, (x²+(x+1)²)/(x(x+1)) = 25/12
   বা, (x²+x²+2x+1)/(x²+x) = 25/12
   বা, 12(2x²+2x+1)=25(x²+x)
   বা, 24x²+24x+12=25x²+25x
   বা, 24x²-25x²+24x-25x+12=0
   বা, -x²-x+12=0
   বা, x²-(4-3)x-12=0
   বা, x²+4x-3x-12=0
   বা, x(x+4)-3(x+4)=0
   বা, (x+4)(x-3)=0
   দুটি রাশির গুনফল শূন্য
   হয়, (x+4)=0
   বা, x=-4
   অথবা, (x-3)=0
   বা, x=3
   ∴ নির্ণেয় সমাধান x=3 এবং x=-4

(xi) (ax+b)/(a+bx) = (cx+d)/(c+dx) [a≠b, c≠d], x≠- a/b, x≠- c/d
বা, (ax+b)(c+dx)=(cx+d)(a+bx)
বা, acx+adx²+bc+bdx=acx+bcx²+ad+bdx
বা, adx²-bcx²+bc-da-acx-acx-bdx-bdx=0
বা, x²(ad-bc)-(ad-bc)=0
বা, (ad-bc)(x²-1)=0
এখন দুটি রাশির গুনফল শূন্য
কিন্তু (ad-bc) ≠ 0 কারণ a≠b এবং c≠d
∴ (x²-1)=0
বা, x² = 1
বা, x = ±√1
∴ নির্ণেয় সমাধান X=1 এবং X= -1

(xii) (2x+1) + 3/(2x+1) =4 , x ≠ – 1/2
বা, ((2x+1)²+3)/(2x+1) =4
বা, 4x²+2(2x)(1)+(1)²+3 = 4(2x+1)
বা, 4x²+4x+4 = 8x+4
বা, 4x²+4x-8x+4-4=0
বা, 4x²-4x=0
বা, 4x(x-1) = 0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, x=0
অথবা, (x-1)=0
বা, x=1
∴ নির্ণেয় সমাধান x=0 এবং x=1

(xiii) (x+1)/2 + 2/(x+1) = (x+1)/3 + 3/(x+1) – 5/6, x≠-1
বা, (x+1)/2 – (x+1)/3 + 2/(x+1) – 3/(x+1) = -5/6
বা, (3(x+1)-2(x+1))/6 + (2-3)/(x+1) = -5/6
বা, (x+1)/6 – 1/(x+1) = -5/6
বা, ((x+1)²-6)/(6(x+1)) = -5/6
বা, (x+1)²-6 = -5(x+1)
বা, x²+2x+1-6 = -5x-5
বা, x²+7x=0
বা, x(x+7)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় x=0
অথবা (x+7)=0
বা, x= -7
∴ নির্ণেয় সমাধান x=0 এবং x=-7 । Madhyamik 2026 Math Suggestion

(xiv) (12x+17)/(3x+1) – (2x+15)/(x+7) = 3 1/5 [x≠-1/3, -7 ]
বা, ((12x+17)(x+7)-(2x+15)(3x+1))/((3x+1)(x+7)) = 16/5
বা, 12x²+84x+17x+119-[6x²+2x+45x+15] = (16/5)(3x²+21x+x+7)
বা, 6x²+54x+104 = (16/5)(3x²+22x+7)
বা, 5(6x²+54x+104) = 16(3x²+22x+7)
বা, 30x²+270x+520=48x²+352x+112
বা, 30x²-48x²+270x-352x+520-112=0
বা, -18x²-82x+408=0
বা, 9x²+41x-204=0
বা, 9x²+(68-27)x-204=0
বা, 9x²+68x-27x-204=0
বা, x(9x+68)-3(9x+68)=0
বা, (9x+68)(x-3)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, (9x+68)=0
বা, 9x=-68
বা, x=-68/9
অথবা, (x-3)=0
বা, x=3
∴ নির্ণেয় সমাধান X=3 এবং x=-68/9

(xv) (x+3)/(x-3) +6((x-3)/(x+3)) =5, x≠3,-3
ধরি, (x+3)/(x-3) = a
∴ given equation becomes, Madhyamik 2026 Math Suggestion
a+6/a = 5
বা, a²+6 = 5a
বা, a²-5a+6=0
বা, a²-(3+2)a+6=0
বা, a²-3a-2a+6=0
বা, a(a-3)-2(a-3)=0
বা, (a-3)(a-2)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় (a-3)=0
বা, a=3
অথবা, (a-2)=0
বা, a=2
যখন, a=3
∴ (x+3)/(x-3) =3
বা, x+3=3x-9
বা, -2x=-12
বা, x=6
যখন, a=2
∴ (x+3)/(x-3) =2
বা, x+3=2x-6
বা, -x = -9
∴ নির্ণেয় সমাধান x=6 এবং x=9

(xvi) 1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x, [x≠0, -(a+b)]
বা, 1/(a+b+x) – 1/x = 1/a + 1/b
বা, (x-(a+b+x))/(x(a+b+x)) = (b+a)/ab
বা, -(a+b)/(x(a+b+x)) = (a+b)/ab
বা, -1/(x(a+b+x)) = 1/ab
বা, -ab = x²+ax+bx
বা, x(x+a)+b(x+a)=0
বা, (x+a)(x+b)=0

(xviii) 1/x – 1/(x+b) = 1/a – 1/(a+b) x≠0, -b
বা, (x+b-x)/(x(x+b)) = (a+b-a)/(a(a+b))
বা, b/(x(x+b)) = b/(a(a+b)) [ উভয় দিকে b দিয়ে ভাগ করে পাই ]
বা, x²+bx=a²+ab
বা, x²-a²+bx-ab=0
বা, (x-a)(x+a)+b(x-a)=0
বা, (x-a)(x+a+b)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় (x-a)=0
বা, x=a
অথবা, (x+a+b)=0
বা, x=-(a+b)
∴ নির্ণেয় সমাধান x=a এবং x=-(a+b)

(xix) 1/((x-1)(x-2)) + 1/((x-2)(x-3)) + 1/((x-3)(x-4)) = 1/6, x≠ 1,2,3,4
বা, (1/(x-2)-1/(x-1)) + (1/(x-3)-1/(x-2)) + (1/(x-4)-1/(x-3)) = 1/6
বা, 1/(x-2)-1/(x-1) + 1/(x-3)-1/(x-2) + 1/(x-4)-1/(x-3) = 1/6
বা, 1/(x-4) – 1/(x-1) = 1/6
বা, (x-1-x+4)/((x-4)(x-1)) = 1/6
বা, 3/(x²-5x+4) = 1/6
বা, x²-5x+4=18
বা, x²-5x+4-18=0
বা, x²-7x+2x-14=0
বা, (x-7)(x+2)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, (x-7)=0
বা, x=7
অথবা, (x+2)=0
বা, x= -2
∴ নির্ণেয় সমাধান x= 7 এবং x= -2

(xx) a/(x-a) + b/(x-b) = 2c/(x-c) , x ≠ a,b,c
বা, a/(x-a) +1 + b/(x-b) +1 = 2c/(x-c) +2
বা, (a+x-a)/(x-a) + (b+x-b)/(x-b) = (2c+2x-2c)/(x-c)
বা, x/(x-a) + x/(x-b) = 2x/(x-c)
বা, x [ 1/(x-a) + 1/(x-b) – 2/(x-c)]=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় x=0
অথবা, 1/(x-a) + 1/(x-b) – 2/(x-c)=0
বা, x²-bx-cx+bc+x²-ax-cx+ac-2x²+2ax+2bx-2ab=0
বা, ax+bx-2cx+bc+ac-2ab=0
বা, x=(2ab-bc-ac)/(a+b-2c)
∴ নির্ণেয় সমাধান x=0 এবং x=(2ab-bc-ac)/(a+b+2c)

এখান থেকে 1 টি অংক আসবেই Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117। সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
   সমাধানঃ দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3
   ধরি, একটি সংখ্যা x
   ∴ অন্য সংখ্যাটি টি হবে (x+3)
   শর্তানুসারে,
   x² + (x+3)² = 117
   বা, x² + x²+6x+9-117=0
   বা, 2x²+6x-108=0
   বা, x²+3x-54=0
   বা, x²+(9-6)x-54=0
   বা, x²+9x-6x-54=0
   বা, x(x+9)-6(x+9)=0
   বা, (x+9)(x-6)=0
   ∴ দুটি রাশির গুনফল শূন্য
   হয় (x+9)=0
   বা, x=-9
   অথবা, (x-6)=0
   বা, x=6
   যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, এর ঋণাত্মক মানকে অগ্রাহ্য করে পাই
   উত্তরঃ সংখ্যা দুটি হল 6 এবং 6+3=9
2. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচ গুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
   সমাধানঃ ধরি, সংখ্যাটি হল x [ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা] Madhyamik 2026 Math Suggestion
   শর্তানুসারে,
   2x²-5x=3
   বা, 2x²-5x-3=0
   বা, 2x²-(6-1)x-3=0
   বা, 2x²+x-6x-3=0
   বা, x(2x+1)-3(2x+1)=0
   বা, (x-3)(2x+1)=0
   যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য
   ∴ হয় (x-3)=0
   বা, x=3
   অথবা (2x+1)=0
   বা, x=-1/2
   যেহেতু x একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা।
   ∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হল 3।
3. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি। এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জীপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
   সমাধানঃ ধরি, মোটরগাড়ি গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা
   ∴ জিপগাড়ির গতিবেগ (x+5) কিমি/ঘন্টা
   এবং, অতিক্রান্ত দূরত্ব = 200 কিমি
   শর্তানুসারে,
   200/x – 200/(x+5) = 2
   বা, 200(x+5)-200x = 2x(x+5)
   বা, 200x+1000-200x = 2x²+10x
   বা, 1000=2x²+10x
   বা, 2x²+10x-1000=0
   বা, x²+5x-500=0
   বা, x²+(25-20)x-500=0
   বা, x²+25x-20x-500=0
   বা, x(x+25)-20(x+5)=0
   বা, (x+5)(x-20)=0
   যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion
   ∴ হয়, (x-20)=0
   বা, x=20
   অথবা (x+25)=0
   বা, x=-25
   এক্ষেত্রে গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারেনা
   ∴ x = 20
   ∴ মোটরগাড়ি গতিবেগ 20 কিমি/ঘন্টা।
4. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
   সমাধানঃ ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক x
   ∴ সংখ্যাটির দশকের ঘরের অঙ্ক (x-3)
   ∴ সংখ্যাটি হবে =10(x-3)+x = 11x-30
   যেহেতু সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্কদুয়ের গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়
   ∴ (11x-30)-x(x-3)=15
   বা, 11x-30-x²+3x-15=0
   বা, -x²+14x-45=0
   বা, x²-14x+45=0
   হয় (x-9)=0
   বা, x=9
   অথবা, (x-5)=0
   বা, x=5
   ∴ এককের ঘরের অঙ্ক হল 5 অথবা 9।
5. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি (11 1/9) মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নলের সময় লাগে x মিনিট অপর নলের সময় লাগবে (x+5) মিনিট।
   সমাধানঃ ধরি, সমগ্র চৌবাচ্চা =1 অংশ
   শর্তানুসারে,
   1/x + 1/(x+5) = 1/(100/9)
   বা, (x+5+x)/(x(x+5)) = 9/100
   বা, (2x+5)/(x²+5x) = 9/100
   বা, 100(2x+5)=9x(x+5)
   বা, 200x+500=9x²+45x
   বা, 9x²+45x-200x-500=0
   বা, 9x²-155x-500=0
   বা, 9x²-(180-25)x-500=0
   বা, 9x²-180x+25x-500=0
   বা, 9x(x-20)+25(x-20)=0
   বা, (x-20)(9x+25)=0
   যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য
   ∴ হয় (x-20)=0
   বা, x=20
   অথবা, (9x+25)=0
   বা, x=-25/9
   সময় ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব
   ∴ x=20
   অর্থাৎ একটি নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করবে 20 মিনিটে
   ∴ অপর নল চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে (20+5) মিনিটে = 25 মিনিটে
6. পর্ণা ও পীযুষ কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
   সমাধানঃ ধরি, পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারে x দিনে
   ∴ প্রদত্ত শর্তানুসারে পীযুষের সময় লাগবে (x+6) দিন
   ধরি, সমগ্র কাজ = 1 অংশ
   শর্তানুসারে,
   1/x + 1/(x+6) = 1/4
   বা, (x+6+x)/(x(x+6)) = 1/4
   বা, (2x+6)/(x²+6x) = 1/4
   বা, 4(2x+6) = x²+6x
   বা, 8x+24 = x²+6x
   বা, x²+6x-8x-24=0
   বা, x²-2x-24=0
   বা, x²-(6-4)x-24=0
   বা, x²-6x+4x-24=0
   বা, x(x-6)+4(x-6)=0
   বা, (x-6)(x+4)=0
   দুটি রাশির গুনফল শূন্য
   ∴ হয় (x-6)=0
   বা, x=6
   অথবা, (x+4)=0
   বা, x=-4
   যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারেনা।
   ∴ x=6
   ∴ পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারবে 6 দিনে।
7. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A) :-
   (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ)
   (i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ এর সংখ্যা
   (a) একটি (b) দুটি (c) তিনটি (d) কোনোটিই নয়
   উত্তরঃ (b) দুটি Madhyamik 2026 Math Suggestion

(ii) ax²+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
(a) b≠0 (b) c≠0 (c) a≠0 (d) কোনোটিই নয়
উত্তরঃ (c) a ≠ 0

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) কোনোটিই নয়
উত্তরঃ (b) 2

(iv) 4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3) সমীকরণটি
(a) রৈখিক (b) দ্বিঘাত (c) ত্রিঘাত (d) কোনোটিই নয়
উত্তরঃ (a) রৈখিক

(v) x²/x = 6 সমীকরণের বীজ/বীজদ্বয়
(a) 0 (b) 6 (c) 0 ও 6 (d) -6
উত্তরঃ (b) 6

(B) নিচের বিবৃতি গুলির সত্য না মিথ্যা লিখি :-
(i) (x-3)² = x²-6x+9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তরঃ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

(ii) x²=25 সমীকরণের একটি মাত্র বীজ 5
উত্তরঃ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :- Madhyamik 2026 Math Suggestion
(i) যদি ax²+bx+c=0 সমীকরণটির a=0 এবং b≠0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তবে সমীকরণটি হল x²-2x+1=0।
(iii) x²=6x সমীকরণের বীজদ্বয় 0 ও 6

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A):-
    (ii) x²-(2+b)x+6=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
    সমাধানঃ x²-(2+b)x+6=0 সমীকরণের একটি বীজ 2
    ধরি, অপর বীজ = a
    ∴ 2a=6 [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/ x²-এর সহগ ]
    বা, a = 6/2
    বা, a = 3
    ∴ অপর বীজটির মান = 3 Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

(iii) 2x²+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধানঃ ধরি, অপর বীজ = a
∴ 2a= 4/2 [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/ x²-এর সহগ ]
বা, 2a= 2
বা, a = 1
∴ অপর বীজটির মান = 1

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যক -এর অন্তর 9/20; সমীকরণটি লিখি।
সমাধানঃ ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশ টি হল x
∴ তার অন্যোন্যক হবে 1/x
শর্তানুসারে,
1/x – x = 9/20
বা, (1-x²)/x = 9x
বা, 20-20x² = 9x
বা, 20x²+9x-20=0
∴ সমীকরণ টি হল 20x²+9x-20=0। Madhyamik 2026 Math Suggestion

(v) ax²+bx+35=0 সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b -এর মান লিখি।
সমাধানঃ -5 x (-7) = 35/a [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/ x² -এর সহগ ]
বা, 35 = 35/a
বা, a=1
আবার -5+(-7) = -b/a [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = -(x-এর সহগ / x² -এর সহগ)]
বা, -12 = -b/1
বা, b=12
∴ a-এর মান 1 এবং b-এর মান 12।

এখান থেকে 1 টি অংক আসবেই Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

4. m এর মান কত হলে, 4x² + 4(3m-1)x + (m+7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে?
   সমাধানঃ ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় a এবং 1 / a।
   যেহেতু, বীজদ্বয়ের গুনফল = (ধ্রুবক পদ)/ (x² এর সহগ)
   ∴ a × 1/a = (m+7)/4
   বা, 1 = (m+7)/4
   বা, m+7 = 4
   বা, m = 4-7
   বা, m = -3
   ∴ m এরমান -3 হলে প্রদত্ত সমীকরণটির বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হবে।
5. (b-c)x² + (c-a)x + (a-b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে 2b = a+c।
   সমাধানঃ প্রদত্ত সমীকরণটিকে Ax² + Bx+C = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
   A = (b-c), B = (c-a), C = (a-b)
   যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণটির বীজদ্বয় সমান Madhyamik 2026 Math Suggestion
   ∴ নিরূপক = B² – 4AC = 0
   বা, (c-a)² – 4(b-c)(a-b) = 0
   বা, c²-2ca+a² – 4(ab-b²-ac+bc) = 0
   বা, c²+a²+2ac+4b²-4ab-4bc = 0
   বা, a²+ (2b)² + c² + 2(a)(-2b) + 2 (-2b)(c) + 2ac = 0
   বা, {a + (-2b) + c}² = 0 [ যেহেতু, (a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca ]
   বা, (a-2b+c)² = 0
   বা, a+c = 2b [প্রমাণিত]
6. (a²+b²)x² – 2(ac+bd)x + (c²+d²) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে a/b = c/d।
   সমাধানঃ প্রদত্ত সমীকরণটিকে Ax² + Bx+C = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
   A = (a²+b²), B = -2(ac+bd), C = (c²+d²)
   যেহেতু সমীকরণের বীজদ্বয় সমান
   ∴ নিরূপক = B² – 4AC = 0
   বা, {-2(ac+bd)}² – 4(a²+b²)(c²+d²) = 0
   বা, 4{(ac)²+2(ac)(bd)+(bd)²} – 4{a²c²+a²d²+b²c²+b²d²} = 0
   বা, 4{a²c² + 2abcd +b²d² -a²c²-a²d² -b²c²-b²d²} = 0 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই]
   বা, {b²c² – 2(bc)(ad) + a²d² } = 0
   বা, (bc – ad)² = 0
   বা, (bc – ad) = 0
   বা, bc = ad
   বা, c/d = a/b [প্রমাণিত]
7. Madhyamik 2026 Math Suggestion

সরল সুদকষা (কষে দেখি – 2) Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

2. 2005 সালের 1 জানুয়ারি থেকে 27 মে পর্যন্ত বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে 2000 টাকার সুদ কত হবে নির্ণয় করি।
   সমাধান: এখানে 1 জানুয়ারি থেকে 27 মে পর্যন্ত দিনসংখ্যা = 31+28+31+30+26= 146 দিন=146/365বছর
   এখানে আসল (P)= 2000 টাকা
   সময় (t) = 146/365 বছর
   সুদের হার (r)= 6 %
   ∴ সুদ (I) = (P×t×r)/100 টাকা = (2000×146/365×6)/100 টাকা = (4×146×6)/73 টাকা = (4×2×6)টাকা = 48 টাকা
   উত্তরঃ নির্ণেয় সুদ 48 টাকা।

সরল সুদকষা (কষে দেখি – 2)

2. 2005 সালের 1 জানুয়ারি থেকে 27 মে পর্যন্ত বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে 2000 টাকার সুদ কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান: এখানে 1 জানুয়ারি থেকে 27 মে পর্যন্ত দিনসংখ্যা = 31+28+31+30+26= 146 দিন=146/365বছর
এখানে আসল (P)= 2000 টাকা
সময় (t) = 146/365 বছর
সুদের হার (r)= 6 %
∴ সুদ (I) = (P×t×r)/100 টাকা = (2000×146/365×6)/100 টাকা = (4×146×6)/73 টাকা = (4×2×6)টাকা = 48 টাকা
উত্তরঃ নির্ণেয় সুদ 48 টাকা।

7. বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে কোনো টাকা কত বছরে দ্বিগুণ হবে হিসাব করে লিখি
সমাধান: ধরি, বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে কোনো টাকা t বছরে দ্বিগুণ হবে এবং আসল x টাকা।
∴ সুদ (I) = 2x-x = x টাকা
সময় (t) = (I × 100) / (P × r) = (x × 100) / (x × 6) = 100/6 = 16 2/3
∴ বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে কোনো টাকা 16 2/3 বছরে অর্থাৎ 16 বছর 8 মাসে দ্বিগুণ হবে। Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

9. একটি কৃষি সমবায় সমিতি তার সদস্যদের বার্ষিক 4% সরল সুদের হারে কৃষি ঋণ দেয় কিন্তু ব্যাংক থেকে টাকা ধার করলে বার্ষিক 7.4% হারে সরল সুদ দিতে হয় একজন কৃষক যদি ব্যাংক থেকে টাকা ধার না করে সমবায় সমিতির সদস্য হয়ে সমিতি থেকে 5000 টাকা কৃষি ঋণ নেন তবে তার বছরের সুদ বাবদ কত টাকা বাঁচবে?
সমাধান: একটি কৃষি সমবায় সমিতি সদস্যদের বার্ষিক 4% সরল সুদের হারে কৃষি ঋণ দেয়
∴ এক্ষেত্রে আসল (P) = 5000 টাকা, সময় (t) = 1 বছর, বার্ষিক সরল সুদের হার (r₁) = 4%
∴ সুদ(I₁) = (5000×1×4)/100 টাকা = 200 টাকা
আবার ব্যাংক থেকে টাকা ধার করলে ব্যাংক 7.4% হারে সরল সুদ দেয়।
∴ এক্ষেত্রে আসল (P) = 5000 টাকা, সময় (t) = 1 বছর, বার্ষিক সরল সুদের হার (r₂) = 7.4%
∴ সুদ(I₂) = (5000×1×7.4)/100 টাকা = (5×74) টাকা = 370 টাকা
উত্তরঃ যদি একজন কৃষক ব্যাংক থেকে টাকা ধার না করে সমবায় সমিতি থেকে কৃষি ঋণ নেন তবে তার বছরের সুদ বাবদ (370- 200) টাকা অর্থাৎ 170 টাকা বাঁচবে। Madhyamik 2026 Math Suggestion

10. যদি 292 টাকার একদিনের সুদ 5 পয়সা হয় তবে বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার হিসাব করে লিখি
সমাধান: ধরি, বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার r।
সুদ(I)= 5 পয়সা = 5/100 টাকা
আসল(P)=292 টাকা
সময়(t)= 1 দিন= 1/365 বছর
∴ সুদ (I) = P×t×r / 100 ⇒ 5/100 = (292×r×1/365)/100 ⇒ 292r = 5×365 ⇒ r = (5×365)/292 ⇒ r = 1825/292 = 6 1/4 %
∴ বার্ষিক শতকরা সুদের হার 6 1/4 %। Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

13. কোন মূলধন একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে-আসলে 7100 টাকা এবং 4 বছরের সুদে-আসলে 6200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করি।
সমাধান: আসল + 7 বছরের সুদ = 7100 টাকা —– (i)
আসল + 4 বছরের সুদ = 6200 টাকা —– (ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
3 বছরের সুদ = 900 টাকা
এখন 3 বছরের সুদ 900 টাকা
∴ 1 বছরের সুদ 900/3=300 টাকা
আবার 4 বছরের সুদ 300 × 4 =1200 টাকা
∴ আসল = 6200-1200=5000 টাকা
এখন P = 5000 টাকা, সময় (t) = 4 বছর, সুদ (I)=1200 টাকা
বা, r= 6
উত্তরঃ মূলধন 5000 টাকা এবং বার্ষিক শতকরা সুদের হার 6%। Madhyamik 2026 Math Suggestion

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (কষে দেখি 3.2)

16. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB = 60° হলে, ∠COD এর মান
(a) 40° (b) 30° (c) 60° (d) 90°
উত্তরঃ (c) 60°

(ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং একটি জ্যা- এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা- এর দূরত্ব
(a) 12.5 সেমি (b) 12 সেমি (c) √69 সেমি (d) 24 সেমি
উত্তরঃ (b) 12 সেমি।

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব 4 সেমি হলে, CD জ্যা – এর দূরত্ব
(a) 2 সেমি (b) 4 সেমি (c) 6 সেমি (d) 8 সেমি
উত্তরঃ (b) 4 সেমি। Madhyamik 2026 Math Suggestion

(iv) AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা -এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব
(a) 12 সেমি (b) 16 সেমি (c) 20 সেমি (d) 5 সেমি।
উত্তরঃ (a) 12 সেমি।

(v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্রের O; একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 5 সেমি হলে BD এর দৈর্ঘ্য
(a) 2.5 সেমি (b) 5 সেমি (c) 10 সেমি (d) কোনোটিই নয়।
উত্তরঃ (b) 5 সেমি।

(B) সত্য / মিথ্যা লিখি:
(i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
উত্তরঃ মিথ্যা

(ii) ABCD ও ABCE বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।
উত্তরঃ সত্য

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC জ্যা দুটির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, ∠ OAB = ∠ OAC
উত্তরঃ মিথ্যা

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ ও RS জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, ∠ POQ = ∠ ROS = 1:1
(ii) বৃত্তের কোন জ্যা –এর লম্বসমদ্বিখন্ডক ওই বৃত্তের কেন্দ্রগামী। Madhyamik 2026 Math Suggestion

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A) :
(i) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
A ও B যুক্ত করলে, AB ⊥ PQ হয়।
সমকোণী △AOP এর, AP² = OP² + AO²
বা, (10)² = (12/2)² + (AO)²
বা, 100 = 36 + AO²
বা, AO² = 64
বা, AO = 8
যেহেতু বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ সমান সেহেতু OA=OB = 8 সেমি.
∴ AB = 8+8 = 16 সেমি.
∴ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = 16 সেমি. (উত্তর)

(ii) 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB=AC = 6 সেমি হলে, BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে, AB = AC =6 সেমি.
যেহেতু সমান দৈর্ঘ বিশিষ্ট জ্যা-এর মধ্যবর্তী কোনের সমদ্বিখন্ডক কেন্দ্রগামী হয়,
এবং P, BC এর মধ্যবিন্দু ও OP ⊥ BC
O,B যোগ করা হল।
ধরি, OP = x সেমি
সমকোণী △APB থেকে পাই,
AP² + BP²=AB²
বা, BP² = (6)² – AP² —– (i)
সমকোণী △OPB থেকে পাই,
OP² + BP² = OB²
বা, BP² = (5)² – OP² —– (ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
(6)² – AP² = (5)² – OP²
বা, 36 – 25 = AP² – OP²
বা, (OA-OP)² – OP² = 11
বা, (5-OP)² – OP² = 11
বা, 25 -10OP +OP²-OP²=11
বা, 10OP = 14
বা, OP = 14/10 = 7/5
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই, Madhyamik 2026 Math Suggestion
BP² = 25 – (7/5)²
বা, BP² = 25 – (49/25)
বা, BP² = (625-49)/25
বা, BP² = 576/25
বা, BP = 24/5 [উভয় পক্ষে বর্গমূল করে পাই]
∴CD = 2BP = 2 × (24/5) = 48/5 = 9.6 সেমি, ( উত্তর)

একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations)

কষে দেখি 1.1

• 3. x⁶-x³-2=0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
• 4(i). (a-2)x²+3x+5=0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
• 4(iv). (x+2)³=x(x²-1) -কে ax²+bx+c=0, (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x²,x ও x⁰ এর সহগ লিখি।
• 5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
  • (i) 42 কে দুটি অংশে বিভক্ত করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
  • (ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143।
  • (iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
• 6(ii). এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার প্রতি কিগ্রা চিনির দাম 1 টাকা কম হত।
• 6(iii). দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 km। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল। ট্রেন টির গতিবেগ ঘন্টায় 5km বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘন্টা সময় কম লাগত। Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

কষে দেখি 1.2

• 2(i). K এর কোন মানের জন্য 7x²+kx-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2/3 হবে?
• 2(ii). K এর কোন মানের জন্য x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হবে –a?
• 3. যদি ax²+7x+b=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 2/3 এবং -3 হয় তবে a ও b এর মান নির্ণয় করি।
• 4. সমাধান করি:
  • (x) x/(x+1) + (x+1)/x = 2 1/2 , x≠0, -1
  • (xi) (ax+b)/(a+bx) = (cx+d)/(c+dx) [a≠b, c≠d], x≠- a/b, x≠- c/d
  • (xii) (2x+1) + 3/(2x+1) =4 , x ≠ – 1/2
  • (xiii) (x+1)/2 + 2/(x+1) = (x+1)/3 + 3/(x+1) – 5/6, x≠-1
  • (xiv) (12x+17)/(3x+1) – (2x+15)/(x+7) = 3 1/5 [x≠-1/3, -7]
  • (xv) (x+3)/(x-3) +6((x-3)/(x+3)) =5, x≠3,-3
  • (xvi) 1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x, [x≠0, -(a+b)]
  • (xviii) 1/x – 1/(x+b) = 1/a – 1/(a+b) x≠0, -b
  • (xix) 1/((x-1)(x-2)) + 1/((x-2)(x-3)) + 1/((x-3)(x-4)) = 1/6, x≠ 1,2,3,4
  • (xx) a/(x-a) + b/(x-b) = 2c/(x-c) , x ≠ a,b,c

কষে দেখি 1.3

• 1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117। সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
• 3. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচ গুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
• 4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি। এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জীপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
• 6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
• 7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি (11 1/9) মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নলের সময় লাগে x মিনিট অপর নলের সময় লাগবে (x+5) মিনিট।
• 8. পর্ণা ও পীযুষ কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
• 10. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A):
  • (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ): (i), (ii), (iii), (iv), (v)
  • (B) নিচের বিবৃতি গুলির সত্য না মিথ্যা লিখি: (i), (ii)
  • (C) শূন্যস্থান পূরণ করি: (i), (ii), (iii)
• 11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A):
  • (ii) x²-(2+b)x+6=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
  • (iii) 2x²+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
  • (iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যক -এর অন্তর 9/20; সমীকরণটি লিখি।
  • (v) ax²+bx+35=0 সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b -এর মান লিখি।

কষে দেখি 1.5

• 4. m এর মান কত হলে, 4x² + 4(3m-1)x + (m+7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে?
• 5. (b-c)x² + (c-a)x + (a-b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে 2b = a+c।
• 6. (a²+b²)x² – 2(ac+bd)x + (c²+d²) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে a/b = c/d।
• 7. প্রমান করো যে (a²+b²)x²+2(a+b)x+1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না যদি a ≠ b হয়।
• 8. 5x²+2x-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে, (i) α² + β², (ii) α³ + β³, (iii) 1/α + 1/β, (iv) α²/β + β²/α এর মান নির্ণয় করো।
• 9. ax²+bx+c=0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে 2b² = 9ac।
• 10. যে সমীকরণের বীজগুলি x²+px+1=0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
• 11. x²+x+1=0 সমীকরণের বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
• 12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A): (A) M.C.Q, (B) সত্য বা মিথ্যা, (C) শূন্যস্থান পূরণ।
• 13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A): (i), (ii), (iii), (iv), (v)

সরল সুদকষা (Simple Interest)

Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

কষে দেখি – 2

• 2. 2005 সালের 1 জানুয়ারি থেকে 27 মে পর্যন্ত বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে 2000 টাকার সুদ কত হবে নির্ণয় করি।
• 7. বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে কোনো টাকা কত বছরে দ্বিগুণ হবে হিসাব করে লিখি।
• 9. একটি কৃষি সমবায় সমিতি তার সদস্যদের বার্ষিক 4% সরল সুদের হারে কৃষি ঋণ দেয় কিন্তু ব্যাংক থেকে টাকা ধার করলে বার্ষিক 7.4% হারে সরল সুদ দিতে হয় একজন কৃষক যদি ব্যাংক থেকে টাকা ধার না করে সমবায় সমিতির সদস্য হয়ে সমিতি থেকে 5000 টাকা কৃষি ঋণ নেন তবে তার বছরের সুদ বাবদ কত টাকা বাঁচবে?
• 10. যদি 292 টাকার একদিনের সুদ 5 পয়সা হয় তবে বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার হিসাব করে লিখি।
• 13. কোন মূলধন একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে-আসলে 7100 টাকা এবং 4 বছরের সুদে-আসলে 6200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করি।
• 14. একই সময়ে অমল রায় ব্যাংকে এবং পশুপতি ঘোষ পোস্ট অফিসে 2000 টাকা করে জমা রাখেন। তিন বছর পর তারা সুদসহ যথাক্রমে 2360 টাকা ও 2480 টাকা ফেরত পান। ব্যাংক ও পোস্ট অফিসের বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারের অনুপাত কত হবে হিসাব করে লিখি।
• 15. একটি তাঁত সমবায় সমিতি যন্ত্রচালিত তাঁত ক্রয় করার সময় 15000 টাকা ধার করে। 5 বছর পর সেই ধার শোধ করতে সমিতিকে 22125 টাকা দিতে হলো। ব্যাংকের বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করি।
• 16. আসলাম চাচা কর্মক্ষেত্র থেকে অবসর নেওয়ার সময় 100000 টাকা পেলেন। ওই টাকার কিছুটা ব্যাংক ও বাকিটা পোস্ট অফিসে জমা রাখেন এবং প্রতি বছরে সুদ বাবদ মোট 5400 টাকা পান। ব্যাংকের ও পোস্ট অফিসের বার্ষিক সরল সুদের হার যদি যথাক্রমে 5% ও 6% হয় তবে তিনি কোথায় কত টাকা জমা রেখেছিলেন হিসাব করে লিখি।
• 17. রেখা দিদি তার সঞ্চিত অর্থের 10000 টাকা দুটি আলাদা ব্যাংকে ভাগ করে একই সময়ে জমা দিলেন। একটি ব্যাংকের বার্ষিক সরল সুদের হার 6% এবং অন্য ব্যাংকটির বার্ষিক সরল সুদের হার 7%। 2 বছর পর তিনি যদি সুদ বাবদ মোট 1280 টাকা পান তাহলে তিনি কোন ব্যাংকে কত টাকা জমা দিয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।
• 18. কোন ব্যাংক বার্ষিক 5% হারে সরল সুদ দেয়। ওই ব্যাংকে দিপু বাবু বছরের প্রথমে 15000 টাকা জমা দেওয়ার তিন মাস পরে 3000 টাকা তুলে নিলেন এবং টাকা তুলে নেওয়ার তিন মাস পরে আবার তিনি 8000 টাকা জমা দিলেন। ওই বছরের শেষে দিপু বাবু সুদে-আসলে কত টাকা পাবেন নির্ণয় করি।
• 19. রহমত চাচা একটি বাড়ি তৈরি করার জন্য বার্ষিক 12% সরল সুদের হারে 240000 টাকা ব্যাংক থেকে ধার নেন। ধার নেওয়ার 1 বছর পর তিনি বাড়িটি প্রতিমাসে 5200 টাকায় ভাড়া দেন। ধার নেওয়ার কত বছর পরে তিনি বাড়িভাড়ার আয় থেকে ব্যাংকের টাকা সুদ সহ শোধ করবেন তা হিসাব করি।
• 20. রথীন বাবু তার দুই মেয়ের প্রত্যেকের জন্য ব্যাংকে এমনভাবে টাকা জমা রাখেন যাতে প্রত্যেক মেয়ের বয়স যখন 18 বছর হবে তখন প্রত্যেক মেয়ে 120000 টাকা করে পাবে। ব্যাংকের বার্ষিক সরল সুদের হার 10% এবং মেয়েদের বর্তমান বয়স যথাক্রমে 13 বছর এবং 8 বছর। তিনি প্রত্যেক মেয়ের জন্য ব্যাংকে কত টাকা জমা রেখেছিলেন হিসাব করি।

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Circle)

কষে দেখি 3.2

• 16. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (V.S.A): (A) M.C.Q (i-v), (B) সত্য/মিথ্যা (i-iii), (C) শূন্যস্থান পূরণ (i-ii)
• 17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A):
  • (i) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
  • (ii) 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB=AC = 6 সেমি হলে, BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
  • (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠AOB = 60° এবং ∠COD=6 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

আয়তঘন (Cuboid)

কষে দেখি – 4

• 9. একটি সমকোনী চৌপলের আয়তন 432 ঘনসেমি। তাকে সমান আয়তন বিশিষ্ট দুটি ঘনকে পরিনত করা হল। প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধaresর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
• 10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কি হবে হিসাব করে লিখি।
• 11. একটি সমকোনী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3:2:1 এবং উহার আয়তন 384 ঘনসেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
• 13. একটি বর্গাকার ভূমি বিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি, বেধ 1 মিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘনসেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয় তাহলে x এর মান কত তা হিসাব করে লিখি।
• 14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দুধারে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মিটার ও 8 মিটার হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘনমিটার মাটি লাগে তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।
• 15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির 1/3 অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে হিসাব করে লিখি।

অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)

Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

কষে দেখি – 5.3

• 3(ii). a:b = c:d = e:f হলে প্রমান করি যে, (a²+c²+e²)(b²+d²+f²) = (ab+cd+ef)²
• 4(ii). যদি a:b = b:c হয়, তবে প্রমান করি যে, a²b²c² (1/a³ + 1/b³ + 1/c³) = a³+b³+c³
• 4(iii). যদি a:b = b:c হয়, তবে প্রমান করি যে, abc(a+b+c)³ / (ab+bc+ca)³ = 1
• 5(ii). a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমান করি যে, (b-c)²+(c-a)²+(b-d)² = (a-d)²
• 6(iii). x/(lm-n²) = y/(mn-l²) = z/(nl-m²) হয়, তবে দেখাই যে, lx+my+nz = 0
• 6(iv). x/(b+c-a) = y/(c+a-b) = z/(a+b-c) হলে, দেখাই যে, (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0
• 6(v). x/y = (a+2)/(a-2) হলে দেখাই যে, (x²-y²)/(x²+y²) = 4a/(a²+4)
• 6(vi). x = 8ab/(a+b) হলে, (x+4a)/(x-4a) + (x+4b)/(x-4b) এর মান হিসাব করে লিখি।
• 7(ii). (a²+b²) ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a+b ∝ a-b.
• 7(iii). ax+by ∝ px+qy হলে, প্রমাণ করি যে, x:y ∝ a:b,p,q অথবা ধ্রুবক।
• 8(i). 2:5 অনুপাতের উভয়পাদের সাথে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি।
• 8(ii). a:b বৈষম্যমূলক অনুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি।
• 13. সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর (S.A):
  • (i) a/2 = b/3 = c/4 = (2a-3b+4c)/p হলে, p এর মান নির্ণয় করো।
  • (iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।

চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)

কষে দেখি – 6.1

• 10. বার্ষিক 7.5% সুদের হারে 12000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর নির্ণয় করি।
• 11. 10000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য হিসাব করে লিখি।
• 12. বার্ষিক 9% সুদের হারে কিছু টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা হলে, ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
• 13. যদি বার্ষিক 10% হারে কিছু টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 930 টাকা হয়, তবে ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
• 14. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 7% এবং দ্বিতীয় বছর 8% হয়, তবে 6000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
• 15. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 5% এবং দ্বিতীয় বছর 6% হয়, তবে 5000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
• 16. কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধনের 1 বছরের সরল সুদ 50 টাকা এবং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 102 টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করি।
• 17. কোনো মূলধনের 2 বছরের সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করি।
• 21. বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 46656 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
• 22. শতকরা বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 12100 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।

কষে দেখি 6.2 (Less Important)

Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

• 2. কোনো একটি রাজ্যে প্রতিবছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2%। বর্তমানে জনসংখ্যা 80000000 হলে, 3 বছর পরে ওই রাজ্যের জনসংখ্যা কত হবে, তা নির্ণয় করি।
• 4. সর্বশিক্ষা অভিযানের ফলে বিদ্যালয় ছেড়ে চলে যাওয়া শিক্ষার্থীদের পুনরায় বিদ্যালয়ে ভর্তির ব্যবস্থা করা হয়েছে। এরূপ শিক্ষার্থীদের ভর্তির হার প্রতি বছর তার পূর্ববর্তী বছর অপেক্ষা 5% বৃদ্ধি পেয়েছে। কোনো এক জেলায় বর্তমান বছরে যদি 3528 জন এরূপ শিক্ষার্থী নতুন করে ভর্তি হয়ে থাকে, তবে 2 বছর পূর্বে এরূপ কতজন শিক্ষার্থী ভর্তি হয়েছিল, তা হিসাব করে লিখি।
• 5. পুরুলিয়া জেলার পথ নিরাপত্তা সংক্রান্ত প্রচার অভিযানের মাধ্যমে পথ দুর্ঘটনা প্রতি বছর তার পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 10% হ্রাস পেয়েছে। বর্তমান বছরে এই জেলায় 8748 টি পথ দুর্ঘটনা ঘটে থাকলে, 3 বছর আগে পথ দুর্ঘটনার সংখ্যা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।
• 6. একটি মৎস্যজীবী সমবায় সমিতির উন্নত প্রথায় মাছ চাষ করার জন্য এরূপ একটি পরিকল্পনা গ্রহণ করেছে যে কোনো বছরের মাছের উৎপাদন পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 10% বৃদ্ধি করবে। বর্তমান বছরে যদি ওই সমবায় সমিতির 400 কুইন্টাল মাছ চাষ করে, তবে 3 বছর পরে সমবায় সমিতির মাছের উৎপাদন কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
• 7. একটি গাছের উচ্চতা প্রতি বছর 20% বৃদ্ধি পায়। গাছটির বর্তমান উচ্চতা 28.8 মিটার হলে, 2 বছর আগে গাছটির উচ্চতা কত ছিল তা হিসাব করে লিখি।
• 10. কোনো এক জেলার সমস্ত মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের (M.S.K) বর্তমান শিক্ষার্থীর সংখ্যা 3993 জন। প্রতি বছর বিগত বছরের তুলনায় যদি 10% শিক্ষার্থী বৃদ্ধি পেয়ে থাকে, তবে 3 বছর পূর্বে ওই জেলার সকল মাধ্যমিক শিক্ষাকেন্দ্রের শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।
• 12. একটি কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য 180000 টাকা। মেশিনটির মূল্য প্রতি বছর 10% হ্রাসপ্রাপ্ত হয়। 3 বছর পরে ওই মেশিনের মূল্য কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
• 13. বকুলতলা গ্রামের পঞ্চায়েত সমিতি যেসব পরিবারে বিদ্যুৎ সংযোগ নেই তাদের বাড়িতে বিদ্যুৎ পৌঁছানোর পরিকল্পনা গ্রহণ করে। এই গ্রামে 1200 পরিবারের বিদ্যুৎ সংযোগ নেই। প্রতি বছর যদি পূর্ব বছরের তুলনায় 75% বিদ্যুৎহীন পরিবারে বিদ্যুৎ পৌঁছানোর ব্যবস্থা করা হয়, তবে 2 বছর পরে বকুলতলা গ্রামে বিদ্যুৎহীন পরিবারের সংখ্যা কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angle in a Circle)

কষে দেখি 7.1

• 1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC=100° হলে ∠ABC ও ∠ABO এর মান হিসাব করে লিখি।
• 11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC.

কষে দেখি 7.2

• 3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু। অর্থাৎ, লম্বত্রয় AD, BE এবং CF পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, OD = DG.
• 6. একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD এর ওপর অঙ্কিত লম্বের বর্ধিত অংশ BC কে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, E, BC এর মধ্যবিন্দু।
• 8. ABC ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার AB=AC এবং বর্ধিত BC এর ওপর E যেকোনো একটি বিন্দু। △ABC এর পরিবৃত্ত AE কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC.
• 10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর ওপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
• 11. ABCD চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে AO×OD = BO×OC। প্রমাণ করি যে, ∠AOC = 2∠ADC।

কষে দেখি 7.3

• 8. AB ও CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস। প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তকার চিত্র।
• 10. अति সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A): (A) M.C.Q (i-v), (B) সত্য বা মিথ্যা (i-ii), (C) শূন্যস্থান পূরণ (i-iii)
• 11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A):
  • (i) △ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। BD = 4 সেমি হলে CD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
  • (ii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB ও AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি. ও AC = 3 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
  • (iii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা PQ ও PR পরস্পর লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. হলে, জ্যা QR এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)

কষে দেখি 8

Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

• 6. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতা বিশিষ্ট তিনটি জারের প্রথমটির 2/3 অংশ, দ্বিতীয় টির 5/6 অংশ এবং তৃতীয় টির 7/9 অংশ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি. দীর্ঘ ব্যাসের একটি জারে রাখা হয়, তবে জারে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি. হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি. হলে তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
• 7. একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গ সেমি.। পাত্রটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।
• 8. যদি 14 সেমি ব্যাসের পাইপ যুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জলসেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাম্পটি 1 ঘণ্টায় কত কিলোলিটার জলসেচ করবে হিসাব করে লিখি।
• 9. 7 সেমি. ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জল আছে। ওই জলে যদি 5.6 সেমি. দীর্ঘ ব্যাসের 5 সেমি. লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো হয়, তবে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।
• 11. 9 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়, তাহলে 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সব জল বেরিয়ে যায়। ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surds)

কষে দেখি 9.3

• 1(a). m + 1/m = √3 হলে, (i) m² + 1/m² এবং (ii) m³ + 1/m³ -এর সরলতম মান নির্ণয় করি।
• 1(b). দেখাই যে, (√5+√3)/(√5-√3) – (√5-√3)/(√5+√3) = 2√15
• 6. যদি, a = (√5+1)/(√5-1) ও b = (√5-1)/(√5+1) হয়, তবে নিচের মানগুলি নির্ণয় করি: (i) a² + ab + b², (ii) (a-b)³ / (a+b)³
• 7. যদি x = 2+√3 এবং y = 2-√3 হয়, তবে নিম্নলিখিত গুলির সরলতম মান নির্ণয় করি: (i) x – 1/x, (ii) y² + 1/y², (iii) x³ – 1/x³, (iv) xy + 1/xy, (v) 3x²-5xy+3y²
• 8. x = (√7+√3)/(√7-√3) এবং xy = 1 হলে, দেখাই যে (x²+xy+y²)/(x²-xy+y²) = 12/11
• 10. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A): (A) M.C.Q (i-v), (B) সত্য বা মিথ্যা (i-ii), (C) শূন্যস্থান পূরণ (i-iii)
• 11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন: (i), (ii), (iii), (iv), (v)

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

কষে দেখি ১০

• 1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমন ভাবে ছেদ করেছে যে, ∠PRS = 65° এবং ∠RQS = 45°। ∠SQP ও ∠RSP এর মান হিসাব করে লিখি।
• 2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখেছি ∠XBC = 82° এবং ∠ADB=47°। ∠BAC এর মান হিসাব করে লিখি।
• 4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A, C ও B, D বিন্দুতে ছেদ করলে। প্রমাণ করি যে AC || BD।
• 7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PQ = RS।
• 8. ABC ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার AB=AC এবং বর্ধিত BC এর ওপর E যেকোনো একটি বিন্দু। △ABC এর পরিবৃত্ত AE কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC।
• 10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর ওপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

ম্পাদ্য: ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন (Construction: Circumcircle and Incircle of a Triangle)

কষে দেখি 11.1

• 1. i, ii, iii, iv, v, vi
• 2. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার প্রত্যেকটি সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 7.5 সেমি. এবং সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45°। এই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করি।
• 3. একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি. ও 8 সেমি.। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করি।
• 4. একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6.7 সেমি. এবং বাহু সংলগ্ন কোণ দুটির পরিমাণ 75° ও 55°। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করি।
• 5. একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি. ও 6 সেমি. এবং 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুর বিপরীত কোণ 60°। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করি।

কষে দেখি 11.2

• 1. i, ii, iii
• 2. একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 7.6 সেমি. এবং 6 সেমি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 75°। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করি।
• 4. একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সেমি.। ওই ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করি এবং অঙ্কন প্রণালী লিখি।
• 5. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার ভূমির দৈর্ঘ্য 8 সেমি. এবং সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। ওই ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করি।
• 6. একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করি যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করি।

গোলক (Sphere)

কষে দেখি 12

• 6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 127 পূর্ণ 2/7 বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
• 8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। ওই গোলকটিকে গলিয়ে 3.5 সেমি. দীর্ঘ ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
• 9. 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি দীর্ঘ ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি বড় গোলক তৈরি করা হল। বড় গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
• 10. একটি অর্ধ গোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রঙ করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
• 11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতু লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
• 12. একটি ধাতু গোলকের উপরিতল এমন ভাবে কেটে নেওয়া যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
• 13. 14 সেমি. দীর্ঘ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
• 14. 8 সেমি. ব্যাসের একটি নিরেট গোলক গলিয়ে 1 সেমি. ব্যাসার্ধের গুলি তৈরি করা যাবে। 1 সেমি. ব্যাসের 512 টি গুলি তৈরি করা যাবে।

Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

ভেদ (Variation)

কষে দেখি 13

• 3(iii). একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসির 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কত জন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
• 4(i). y, x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x এর মান নির্ণয় করি যখন y=6.
• 4(ii). x, y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y=5 হলে x=4; y=4 z=5 হলে x=16; x=30 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি।
• 4(iii). x, y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y=5 z=9 হলে, x=1/6 হয়। x, y ও z এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি; y=6 z=1/5 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি।
• 5(iii). যদি, a ∝ b, b ∝ 1/c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
• 7(i). x+y ∝ x-y হলে, দেখাই যে (i) x²+y² ∝ xy
• 8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
• 9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1 1/2, 2 এবং 2 1/2 মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হল। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
• 10. y, দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সাথে ব্যস্তভেদে আছে। x=1 হলে, y=-1 এবং x=3 হলে, y=5 হয়। x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
• 11. a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করি যে, a³+b³+c³ ∝ 3abc
• 12. V ∝ R²h হলে, দেখাই যে, V = k R²h
• 14. আমাদের গ্রামের পোস্টঅফিসে টাকা জমা রাখলে 3 বছরে তিনগুণ হয়। সুদের হার একই থাকলে 7 বছরে সাতগুণ হবে কিনা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে দেখি।
• 15. জলের বাষ্পীভবনের হার তার উপরিতলের ক্ষেত্রফলের সঙ্গে সরলভেদে থাকে। কোনো পাত্রের জলের বাষ্পীভবনের হার নির্ণয় করো।
• 16. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A): (A) M.C.Q (i-v), (B) সত্য বা মিথ্যা (i-ii), (C) শূন্যস্থান পূরণ (i-iii)
• 17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A): (i-v)

অংশীদারি কারবার (Partnership Business)

কষে দেখি 14

• 3. শোভা ও মাসুদ দুজনে মিলে 2,50,000 টাকার একটি গাড়ি কিনে 2,62,500 টাকায় বিক্রি করলেন। গাড়িটি কেনার সময় শোভা, মাসুদের 1 1/2 গুণ টাকা দিয়ে থাকলে, কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন তা হিসাব করে লিখি।
• 5. দীপু, রাবেয়া ও মেঘা যথাক্রমে 6500 টাকা, 5200 টাকা ও 9100 টাকা মূলধন দিয়ে একটি ছোট ব্যবসা শুরু করল ও ঠিক 1 বছর পর 14400 টাকা লাভ হল। ওই লাভের 2/3 অংশ তারা নিজেদের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে নিলেন এবং বাকি অংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে নির্ণয় করি।
• 7. দুই বছরের মধ্যে টাকা ফেরত দিলে কোনো সুদ দিতে হবে না এই শর্তে তিন বন্ধু একটি সমবায় ব্যাংক থেকে যথাক্রমে 6000 টাকা, 8000 টাকা এবং 5000 টাকা ধার নিয়ে যৌথভাবে একটি সাইকেল রিকশা ক্রয় করেন। দুই বছর পর হিসাব করে দেখা যায় যে সমস্ত খরচ বাদ দিয়ে মোট 30400 টাকা আয় হয়েছে। তারা সেই আয় মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেওয়ার পর প্রত্যেকে নিজ নিজ ঋণের টাকা ব্যাংকে ফিরিয়ে দেন। এখন কার হাতে কত টাকা থাকবে এবং তাদের হাতে থাকা টাকার অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
• 8. তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000, 1,50,000 ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করেন। প্রথমজন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করেন। তারা ঠিক করেন যে মোট আয়ের 2/5 অংশ কাজের জন্য 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করবেন এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবেন। কোনো একমাসে যদি 29260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবেন হিসাব করে লিখি।
• 9. বছরের প্রথমে প্রদীপবাবু ও আমিনাবিবি যথাক্রমে 24000 টাকা ও 30000 টাকা নিয়ে ব্যবসা শুরু করেন। 5 মাস পর প্রদীপবাবু আরও 4000 টাকা মূলধন দেন। বছরের শেষে 27716 টাকা লাভ হলে, কে, কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন হিসাব করে লিখি।
• 10. নিয়ামত চাচা ও করবীদিদি যথাক্রমে 30000 টাকা ও 50000 টাকা মূলধন দিয়ে যৌথভাবে একটি ব্যবসা আরম্ভ করলেন। 6 মাস পর নিয়ামত চাচা আরও 40000 টাকা লগ্নি করলেন, কিন্তু করবী দিদি ব্যক্তিগত প্রয়োজনে 10000 টাকা তুলে নিলেন। বছরের শেষে যদি 19000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তাহলে কে কত টাকা লাভ পাবেন হিসাব করে লিখি।
• 12. বছরের প্রথমে অরুণ ও অজয় যথাক্রমে 24000 টাকা ও 30000 টাকা দিয়ে যৌথভাবে ব্যবসা শুরু করেন। কিন্তু কয়েক মাস পরে অরুণ আরও 12000 টাকা ওই ব্যবসায় মূলধন দেন। বছরের শেষে ওই ব্যবসায় 14,030 টাকা লাভ হল এবং অরুণ 7130 টাকা লভ্যাংশ পেলেন। অরুণ কত মাস পরে ব্যবসায় টাকা দিয়েছিলেন নির্ণয় করি।

Madhyamik 2026 Mathematics Suggestion

বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangents to a Circle)

কষে দেখি 15.1

• 11. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A):
  • (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q): (i-v)
  • (B) সত্য বা মিথ্যা লিখি: (i-ii)
  • (C) শূন্যস্থান পূরণ করি: (i-iii)
• 12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A): (i-v)

কষে দেখি 15.2

• 2. একটি বৃত্তের উপর P ও Q বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ=60° হলে ∠APQ এর মান নির্ণয় করি।
• 3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে OA || RQ।
• 11. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A):
  • (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q): (i-v)
  • (B) নিচের বিবৃতিগুলি সত্য বা মিথ্যা লিখি: (i-ii)
  • (C) শূন্যস্থান পূরণ করি: (i-iii)
• 12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A): (i-v)

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)

কষে দেখি 16

• 5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 100π ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
• 8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গসেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে হিসাব করে লিখি।
• 11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
• 12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A):
  • (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q): (i-v)
  • (B) নিচের বিবৃতিগুলি সত্য বা মিথ্যা লিখি: (i-ii)
  • (C) শূন্যস্থান পূরণ করি: (i-iii)
• 14. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.): (i-v)

সদৃশতা (Similarity)

কষে দেখি 18.2

• 1. △ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
  • (i) PB = AQ, AP=9 একক, QC = 4 একক হলে, PB এর দৈর্ঘ্য কত লিখি।
  • (iii) যদি AP = QC হয়, AB এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয়, তবে CQ এর দৈর্ঘ্য কত হবে?
  • (v) পাশের চিত্রে, DE||BC এবং AD:DB=2:1 হলে, AX/XB এর মান নির্ণয় করি।

কষে দেখি 18.3

• 2. △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার B সমকোণ এবং BD লম্ব AC; যদি AD=4সেমি. এবং CD=16 সেমি. হয়, তবে BD ও AB এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
• 11. △ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার C সমকোণ। D, AB এর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, AD²+DB²=2CD²।
• 15. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.): (A) M.C.Q, (B) সত্য/মিথ্যা, (C) শূন্যস্থান পূরণ।

কষে দেখি 18.4

• 9. পাশের চিত্রে ∠BAC = ∠ADB; AC=15 সেমি., AB=20 সেমি., এবং BC=25 সেমি. হলে, AD এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real-life problems on different Solids)

কষে দেখি 19

• 2. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি.। শঙ্কুটির সমান আয়তন বিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
• 3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণ রূপে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
• 4. একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।
• 5. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে লিখি।

ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

কষে দেখি 20

• 3. একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান যথাক্রমে 75° ও π/4; তৃতীয় কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান নির্ণয় করো।
• 4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 2π/5 হলে, ষষ্টিক পদ্ধতিতে কোণ দুটির মান লেখ।
• 14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.): (A) M.C.Q, (B) সত্য বা মিথ্যা, (C) শূন্যস্থান পূরণ।

কষে দেখি 23.1, 23.2, 23.3

• মান নির্ণয় করো (Find the value of): e.g., sec²60° – cot²30° – 2tan30°cosec60° / (1+tan²30°)
• দেখাই যে (Show that): e.g., sin²45°cos²45° = 1
• মান নির্ণয় করি (Find the value): e.g., (sin60°+cos30°)/(sin30°+cos60°+1)
• যদি x=asinθ এবং y=btanθ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, a²/x² – b²/y² = 1
• যদি sinθ+sin²θ = 1 হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, cos²θ+cos⁴θ=1
• যদি r cosθ = 2√3, rsinθ = 2 এবং 0°<θ<90° হয়, তাহলে r এবং θ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras’ Theorem)

কষে দেখি 22

• 4. একটি ত্রিভুজ △PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করি যে, PS²+QR² = PR²+QS²।
• 5. প্রমাণ করি যে -কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির সমষ্টির সমান।
• 7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ △ABC অঙ্কন করলাম যার সমকোণ A থেকে অতিভুজ BC এর উপর AD লম্ব। প্রমাণ করি যে, △ABC এর ক্ষেত্রফল/△ACD এর ক্ষেত্রফল = BC²/AC²।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometry: Heights and Distances)

কষে দেখি 25

• 5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফ পোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 8√3 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
• 6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দুপাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেওয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মইয়ের গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেওয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে। (i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
• 11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° এবং 30°। বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
• 13. উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তার এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60° ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময় উড়োজাহাজটি যদি 545√3 মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি।

রাশিবিজ্ঞান (Statistics)

কষে দেখি 26.1, 26.2, 26.3, 26.4

• 26.1. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নিচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি। (Tables provided)
• 26.2. নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি। (Tables provided)
• 26.3. ওজাইভ অঙ্কন করি (ক্ষুদ্রতর সূচক)। (Tables provided)
• 26.4. নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করি। (Tables provided)
• 26.4, 5. নিচের 70 জন ছাত্রের ওজনের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে ওজনের মধ্যমা নির্ণয় করি। (Table provided)
• 26.4, 6. নলের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের (মিমি.) পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে ব্যাসের দৈর্ঘ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি। (Table provided)